Gần 200 năm , "bài toán Goldbach" vẫn không giải được, cho đến năm 1930, nhà toán học Nga - Soviet trẻ là L.G.Snhirenman ( 1905 - 1938 ) mới chỉ ra được con đường đi đúng dẫn tới lời giải "bài toán Goldbach".

Định Lý Snhirenman do ông đưa ra : tồn tại một hằng số k sao cho mọi số tự nhiên lớn hơn 1 có thể biểu diễn dưới dạng tổng không quá k số nguyên tố , tức là với mọi số tự nhiên N ( N > 1 ) thì N = p₁ + p₂ + ... + p_k, trong đó p_i là số nguyên tố , hoặc số 0 ; i = 1,...,k

Nếu như chứng minh được rằng k = 3 thì " bài toán Goldbach " được giải quyết. Bằng cố gắng của các nhà toán học, hằng số k đã được chỉ ra bằng 67 , sau đó là k = 20.

Năm 1937 , nhà toán học Nga - Xoviet I.M.Vinogradov đã chứng minh được "bài toán Goldbach" với số lẻ khá lớn , tức là mệnh đề "mọi số lẻ bắt đầu từ một số khá lớn là tổng của ba số nguyên tố" được chứng minh. Số lẻ khá lớn là bao nhiêu ? Tức là số lẻ lớn hơn N₀ nào đó. Viện sĩ Borotkin đã chỉ ra được số N₀ >= e^16,038 , e ~ 2,71828... Phương pháp của Vinogradov giải được "bài toán Goldbach" nhưng vẫn chưa đủ để giài " bài toán Euler ".

Tới nay ngay cả "bài toán Goldbach" với những số chẵn và "bài toán Euler" vẫn chưa giải được ( chính Goldbach cũng không đặt ra bài toán này ), mặc dầu định lí Vinogradov đã chỉ ra một số chẵn tương đối lớn là tổng của 4 số nguyên tố.